[ABE-L] Permutabilidade

[Alexandre Galvão Patriota]

Prezados redistas,

Uma seq. de v.a. X1,X2,..., Xn,... é permutável se para cada n=2,3,...
todas as permutações do vetor (X1,...,Xn) têm exatamente a mesma
distribuição.

A permutabilidade apenas indica que existe um *tipo de dependência
constante* entre as variáveis aleatórias. A permutabilidade também obriga
que todas as marginais tenham distribuições *iguais*. Para mim isso indica
claramente que deve haver algum tipo de randomização, pois o papel da
randomização, na minha opinião, é para garantir de certa forma um tipo de
igualdade entre distribuições marginais. Sem randomização, resta ao
analista apenas supor que as distribuições marginais são iguais. Ou seja,
permutabilidade não pode ser aplicada para justificar qualquer tipo de
amostra...

Os exemplos dos bilhetes sorteados sem embaralhar a "urna" mostraram que as
distribuições marginais eram desiguais, portanto a suposição de
permutabilidade para resolver aqueles problemas é frágil e deveria ser
evitada.

A permutabilidade pode ser característica do experimento conduzido ou de
suposições feitas *a priori* para modelagem.

1. Exemplo de permutabilidade como característica do experimento:

Considere uma urna com P bolas pretas e B bolas brancas. Selecione uma bola
"aleatoriamente" e  e anote a sua cor. Recoloque a bola retirada com S
bolas da mesma cor. Repita o procedimento indefinidamente. Seja Xi = 1 se a
i-ésima bola retirada é preta e Xi=0 caso contrário.

2. Exemplo de permutabilidade imposta no modelo:

Suponha que (X1,...,Xn) tem distribuição  t-Student n-variada com k graus
de liberdade para todo n=2,3...

Nos dois exemplo a sequência X1,X2... é permutável.

Num artigo
<https://www.researchgate.net/publication/257199335_On_scale-mixture_BirnbaumSaunders_distributions>
publicado em 2012 pelo *Journal of Statistical Planning and Inference*, eu
mostrei uma justificativa para distribuições Birnbaum-Saunders obtidas via
mistura de escalas de normais. A justificativa usa permutabilidade de De
Finetti, Savage e Hewitt. Se for for considerado que os cracks
microscopicos são permutáveis, então teremos a tal da "scale-mixture
BS-distribution".

Vale mencionar que assumir permutabilidade nada tem a ver com ser
Bayesiano, objetivista ou subjetivista. Um clássico pode assumir
permutabilidade e tratar o problema considerando variáveis latentes no
modelo para voltar a ter o famoso "iid" satisfeito. Não existe relação
alguma em assumir permutabilidade e ter uma distribuição de probabilidade
para o "parâmetro", basta entender que a permutabilidade terá impacto em
cada medida de probabilidade do modelo estatístico.
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